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By Walter Gubler

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На английском: The cryptosystems in response to the Integer Factorization challenge (IFP), the Discrete Logarithm challenge (DLP) and the Elliptic Curve Discrete Logarithm challenge (ECDLP) are basically the one 3 different types of useful public-key cryptosystems in use. the safety of those cryptosystems is based seriously on those 3 infeasible difficulties, as no polynomial-time algorithms exist for them to date.

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In der linearen Algebra beweist man fast immer folgenden Satz: Jede Permutation π l¨ aßt sich als Produkt von endlich vielen Transpositionen schreiben und die Anzahl der ben¨ otigten Faktoren ist entweder immer gerade oder immer ungerade. Wir definieren nun die Signatur einer Permutation π ∈ Sn durch sig(π) := 1, −1, falls die Anzahl der Transpositionen gerade ist falls die Anzahl der Transpositionen ungerade ist F¨ ur zwei Permutationen π, ρ ∈ Sn gilt damit sofort: sig(π ◦ ρ) = sig(π) · sig(ρ), da f¨ ur Faktorisierungen π = τ1 · · · τr und ρ = τ1 · · · τs in Transpositionen folgt, dass sig(π ◦ ρ) = (−1)n+s = sig(π) · sig(ρ).

3. HAUPTIDEALE 63 ”⇐” Trivial. 6. Ist R ein Integrit¨ atsbereich, so kann man die bereits bekannte Teilbarkeitlehre verallgemeinern. Wir definieren hierf¨ ur analog zu den bereits bekannten F¨ allen folgende Begiffe: a ∈ R heißt genau dann irreduzibel, wenn a ∈ / R∗ ∪ {0} erf¨ ullt ist und ∗ ∗ zudem a = bc ⇒ b ∈ R ∨ c ∈ R gilt. a ∈ R heißt genau dann prim, wenn a ∈ / R∗ ∪ {0} und a|bc ⇒ a|b ∨ a|c erf¨ ullt ist. Seien a, b ∈ R. Dann heißt d der gr¨ oßte gemeinsame Teiler von a und b, wenn d|a und d|b sowie c|a ∧ c|b ⇒ c|d erf¨ ullt ist.

Man kann auch die endlichen abelschen Gruppen bis auf Isomorphie klassifizieren, wenn man m1 |m2 | . . 38). F¨ ur nicht-abelsche Gruppen ist die Klassifikation bis auf Isomorphie eine unl¨ osbare Aufgabe. Mit viel Hirn- und Computerarbeit wurde die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen erreicht. Eine einfache Gruppe heißt einfach, wenn sie nur sich selber ¨ und {e} als Normalteiler hat. org/wiki/Endliche einfache Gruppen und ihre Klassifikation . 1 Ringe In der Schule lernt man schon fr¨ uh den Ring Z kennen.

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Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] by Walter Gubler

by Richard

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