By Laurent Berger

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Additional info for Algèbre 1 [Lecture notes]

Example text

Mk et N des A-modules. Une application : f : M1 × · · · × Mk → N est dite multilin´eaire si elle est lin´eaire par rapport a` chacune des variables. On note Homk (M1 , . . , Mk ; N ) le module des applications multilin´eaires de M1 × · · · × Mk dans N. On se donne `a pr´esent k modules M1 , . . , Mk . Soit X le A-module libre dont une base est donn´ee les k-uplets [m1 , . . , mk ] ∈ M1 × · · · × Mk (sans relations) et Y le sous-module de X engendr´e par les ´el´ements de X de la forme : [m1 , .

Comme N1 ⊂ (m1 ) A et que A est principal, N1 est de la forme (a1 m1 ) avec a1 ∈ A et il est donc libre de rang ≤ 1. Soit i ≥ 1 et I l’ensemble des a ∈ A tels qu’il existe x ∈ Ni+1 qui peut s’´ecrire x = b1 m1 + · · · + bi mi + ami+1 . C’est un id´eal de A et il est donc engendr´e par un ´el´ement ai+1 ∈ A. Si ai+1 = 0, alors Ni+1 = Ni et Ni+1 est bien libre de rang ≤ i + 1. Sinon, soit x ∈ Ni+1 tel que x = b1 m1 + · · · + bi mi + ai+1 mi+1 . Si y ∈ Ni+1 , alors il existe b ∈ A tel que y − bx ∈ Ni et comme Ni ∩ (x) = {0}, on a Ni+1 = Ni ⊕ (x) qui est donc libre de rang ≤ i + 1.

CHAPITRE 4 ˆ POLYNOMES ET CORPS FINIS Si A est un anneau, alors on note A[X] l’anneau des polynˆomes en X a` coefficients dans A. 1. Polynˆ omes et racines Si a ∈ A, alors on a un morphisme d’´evaluation P (X) → P (a) de A[X] dans A. On dit que a est une racine de P (X) si P (a) = 0. Dans ce cas, il existe Q(X) ∈ A[X] tel que P (X) = (X − a)Q(X). En effet, si l’on ´ecrit P (X) = a0 + a1 (X − a) + · · · + ad (X − a)d , alors P (a) = 0 si et seulement si a0 = 0 et la formule pour Q(X) est alors ´evidente.