# Seymour Lipschutz's Algebre lineaire PDF

By Seymour Lipschutz

ISBN-10: 2704200017

ISBN-13: 9782704200016

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Sample text

Ist √ p von der Form p = xn −√t mit t ∈ K, so schreiben wir f¨ ur das Bild von x in L ur L einfach K( n t). auch n t und√f¨ Es ist K( n t) also eine K¨orpererweiterung von K, in der t eine n-te Wurzel besitzt. 21. Seien K ein diskreter K¨orper und d ∈ K. Es sei d kein Quadrat in K. Zeige, daß das Polynom x2 − d in K[x] unzerlegbar ist. Zeige weiter, daß √ √ K × K → K( 2), (x, y) → x + y · 2 eine Bijektion ist. 22. Schreibe (1 − 2 2)−1 ∈ Q( 2) in der Form a + b 2 mit a, b ∈ Q. Damit sind wir am Ende dieses Kapitels angekommen.

Auch im Polynomring u ¨ber einem diskreten K¨orper K k¨onnen wir Division mit Rest bez¨ uglich des Grades als Norm durchf¨ uhren. Es folgt, daß K[x] ein euklidischer Ring ist, wenn wir als Norm den Grad w¨ahlen. 7. Definiere auf der Menge Z[i] := Z × Z die Struktur eines kommutativen Ringes, so daß die Addition durch (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ), und die Multiplikation durch (x, y) · (x , y ) = (x · x − y · y , x · y + x · y) f¨ ur (x, y), (x , y ) ∈ Z[i] gegeben ist. Zeige, daß dieser Ring ein euklidischer Ring ist.

Dabei ist ak = 0 f¨ ur k > n. Die Menge aller Polynome in x u ¨ber R wird mit R[x] bezeichnet. 1. Es ist 2x2 + 3x + 1 ein Polynom u ¨ber Z. Die Folge seiner Koeffizienten ist durch 1, 3, 2, 0, . . gegeben. Formal ist ein Element aus R[x] durch die Folge seiner Koeffizienten gegeben, also durch eine Funktion a· : N0 → R, k → ak , f¨ ur die gilt, daß ein n ∈ N0 existiert, so daß ak = 0 f¨ ur k > n. Die Menge R[x] kann also als Teilmenge der Menge aller Funktionen N0 → R konstruiert werden. Die letzte Bedingung formulieren wir auch so: Fast alle ak sind Null.